何を入力し、何を最大化するのか
入力は現在のシグナル、その将来の変化、現在保有、価格変動の共分散、取引費用、リスク回避度。直接の目的はSharpe ratio最大化ではなく、将来の期待利益・リスク・費用のトレードオフである。
次期の超過価格変化：r[t+1] = B f[t] + u[t+1]
シグナルの遷移：f[t+1] = (I − Φ) f[t] + ε[t+1]
今回の売買量：Δx[t] = x[t] − x[t−1]
売買費用：TC = ½ Δx[t]ᵀ Λ Δx[t]
リスク負担：½ γ x[t]ᵀ Σ x[t]- B f[t]：現在の予測
- fは時点tで観測済みの情報、Bはその予測力。rは％リターンではなく、原典ではリスクフリーを超える価格変化。
- Φ：予測状態の遷移
- 独立したAR(1)ならf[t+1]=(1−φ)f[t]+ε。通常の正の持続性ではφが大きいほど速く消える。価格自体の平均回帰を必ず仮定するわけではない。
- Σ・γ：持つリスク
- 銘柄間の相関も含め、ポートフォリオ全体の保有を調整する。
- Λ：売買の価格インパクト
- 一度の数量を倍にすると、このモデルの費用は4倍。複数銘柄のインパクト波及も行列で扱う。売買代金の一定割合の手数料とは異なる。
検証記録：目的関数と解法／§2、式(1)–(6)
- 目的関数
E₀ Σₜ [(1−ρ)^(t+1){x[t]ᵀr[t+1] − ½γx[t]ᵀΣx[t]} − ½(1−ρ)^t Δx[t]ᵀΛΔx[t]]- 売買費用は時点t、利益・リスク項はt+1として割り引く。ρ∈(0,1)。
- 解法
- 状態は(x[t−1],f[t])。Bellman方程式に二次形式の価値関数を代入し、係数のRiccati方程式を解く。行動x[t]は凹二次式の一階条件から得る。
- 基本モデルは定数係数、線形予測遷移、二次型費用、連続数量、ポジション制約なし。Λは対称正定値。
- 以下の単一調整率の式は、原典のAssumption A：Λ=λΣを使用。一般ケースでは調整率は行列。
